$\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ और $\overline{CF}$ माध्यिकाएँ हैं। सिद्ध कीजिए कि $3(AB^2 + BC^2 + AC^2) = 4(AD^2 + BE^2 + CF^2)$।

(N/A) $\Delta ABC$ में,$\overline{AD}$,$\overline{BE}$ और $\overline{CF}$ माध्यिकाएँ हैं। अतः,$D$,$E$ और $F$ क्रमशः $\overline{BC}$,$\overline{AC}$ और $\overline{AB}$ के मध्य-बिंदु हैं।
$\Delta ABC$ में माध्यिका $\overline{AD}$ के लिए अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
चूँकि $BD = \frac{1}{2}BC$,इसलिए:
$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = 2AD^2 + \frac{BC^2}{2}$
$2AD^2 = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2} \quad \dots(1)$
इसी प्रकार,माध्यिकाओं $\overline{BE}$ और $\overline{CF}$ के लिए:
$2BE^2 = AB^2 + BC^2 - \frac{AC^2}{2} \quad \dots(2)$
$2CF^2 = AC^2 + BC^2 - \frac{AB^2}{2} \quad \dots(3)$
समीकरणों $(1)$,$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = (AB^2 + AB^2 - \frac{AB^2}{2}) + (BC^2 + BC^2 - \frac{BC^2}{2}) + (AC^2 + AC^2 - \frac{AC^2}{2})$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}AB^2 + \frac{3}{2}BC^2 + \frac{3}{2}AC^2$
$2(AD^2 + BE^2 + CF^2) = \frac{3}{2}(AB^2 + BC^2 + AC^2)$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$4(AD^2 + BE^2 + CF^2) = 3(AB^2 + BC^2 + AC^2)$