એક ચોક્કસ કસોટીમાં $n$ પ્રશ્નો છે. કસોટીમાં ${2^{n - i}}$ વિદ્યાર્થીઓએ ઓછામાં ઓછા $i$ પ્રશ્નોના ખોટા જવાબ આપ્યા છે,જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$. જો આપેલા ખોટા જવાબોની કુલ સંખ્યા $2047$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો:

ગણ $\{x \in R: \cos 2x + 2 \cos^2 x = 2\}$ એ શેના બરાબર છે?

$1\, kg$ દળને દોરી $A$ વડે લટકાવવામાં આવ્યું છે. બીજી એક દોરી $C$ તેના નીચેના છેડા સાથે જોડાયેલ છે (આકૃતિ જુઓ). જો $C$ ને અચાનક ઝટકો આપવામાં આવે,તો

જો $20$ ભિન્ન ઘટકો ધરાવતા ગણ $A = \{a_1, a_2, \ldots, a_{20}\}$ ના $5$-ઘટકોવાળા ઉપગણોની સંખ્યા એ $a_4$ સમાવતા $5$-ઘટકોવાળા ઉપગણોની સંખ્યા કરતાં $k$ ગણી હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

એક સંતૃપ્ત અચક્રીય કાર્બનિક સંયોજન $X$ માં $C$ અને $H$ તથા $C$ અને $O$ ના દળ ટકાવારીનો ગુણોત્તર અનુક્રમે $4:1$ અને $3:4$ છે. તો,$X$ ના બે મોલના સંપૂર્ણ દહન માટે જરૂરી ઓક્સિજન વાયુના મોલ કેટલા હશે?

ત્રણ પ્રવાહીઓ જેની ઘનતા $\rho_1, \rho_2$ અને $\rho_3$ $(\rho_1 > \rho_2 > \rho_3)$ છે અને સમાન પૃષ્ઠતાણ $T$ ધરાવે છે,તે ત્રણ સમાન કેશનળીઓમાં સમાન ઊંચાઈ સુધી ઉપર ચઢે છે. સંપર્કકોણ $\theta_1, \theta_2$ અને $\theta_3$ અનુક્રમે કયા સંબંધનું પાલન કરે છે?