धनात्मक पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी में,प्रत | vedclass

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Question

(A) माना कि गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है:

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$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना कि गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \dots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।दिया गया है कि प्रत्येक पद अपने अगले दो पदों के योग के बराबर है:$a = ar + ar^2$चूंकि $a > 0$ है,हम दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित कर सकते हैं:$1 = r + r^2$पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:$r^2 + r - 1 = 0$द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$चूंकि गुणोत्तर श्रेणी के पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।अतः,हम धनात्मक मूल (root) लेते हैं:$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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