एक दीर्घवृत्त में,इसकी नाभियों के बीच की दूरी $6$ है और लघु अक्ष की लंबाई $8$ है। तो इसकी उत्केंद्रता क्या है?

एक कण दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1$ पर घड़ी की दिशा में यात्रा कर रहा है। यदि कण $(-8, 3)$ बिंदु पर दीर्घवृत्त को छोड़ देता है और उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के साथ यात्रा करता है,तो वह बिंदु जहाँ कण $Y$-अक्ष को पार करता है,है:

बिंदु $(1, 2)$ से दीर्घवृत्त $3x^2 + 2y^2 = 5$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म के बीच का कोण है

दीर्घवृत्त $16x^2 + 25y^2 = 400$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है

रेखा $x=m^2$ दीर्घवृत्त $9x^2+y^2=9$ को वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर काटती है यदि और केवल यदि

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{27}+y^{2}=1$ पर बिंदु $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है,जहाँ $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो $\theta$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इस स्पर्श रेखा द्वारा अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों का योग न्यूनतम हो।