आकृति में,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण $A$ समकोण है। $BCED$,$ACFG$ और $ABMN$ क्रमशः भुजाओं $BC$,$CA$ और $AB$ पर बने वर्ग हैं। रेखाखंड $AX \perp DE$,$BC$ को $Y$ पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि: $\operatorname{ar}(BYXD) = \operatorname{ar}(ABMN)$.

(N/A) सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(BYXD) = \operatorname{ar}(ABMN)$.
$1$. $\Delta MBC$ और $\Delta ABD$ पर विचार करें। हमारे पास $MB = AB$ (वर्ग $ABMN$ की भुजाएँ) और $BC = BD$ (वर्ग $BCED$ की भुजाएँ) हैं। साथ ही,$\angle MBC = \angle MBA + \angle ABC = 90^\circ + \angle ABC$ और $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = \angle ABC + 90^\circ$। अतः,$\angle MBC = \angle ABD$।
$2$. $SAS$ सर्वांगसमता द्वारा,$\Delta MBC \cong \Delta ABD$। इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta MBC) = \operatorname{ar}(\Delta ABD)$।
$3$. चूँकि $\Delta ABD$ और आयत $BYXD$ एक ही आधार $BD$ पर और समान्तर रेखाओं $AX$ और $BD$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(BYXD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta ABD)$।
$4$. चूँकि वर्ग $ABMN$ और $\Delta MBC$ एक ही आधार $MB$ पर और समान्तर रेखाओं $MB$ और $NC$ के बीच स्थित हैं,इसलिए $\operatorname{ar}(ABMN) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$।
$5$. चूँकि $\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \operatorname{ar}(\Delta MBC)$,इसलिए $2 \operatorname{ar}(\Delta ABD) = 2 \operatorname{ar}(\Delta MBC)$।
$6$. अतः,$\operatorname{ar}(BYXD) = \operatorname{ar}(ABMN)$।