$4$ અધિકારીઓ અને $8$ કોન્સ્ટેબલોમાંથી $6$ વ્યક્તિઓની પસંદગી કેટલી રીતે કરી શકાય,જો ઓછામાં ઓછા એક અધિકારીનો સમાવેશ કરવાનો હોય?

ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC, CA$ પર અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ બિંદુઓ આવેલા છે. આ બિંદુઓનો શિરોબિંદુ તરીકે ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણોની સંખ્યા કેટલી છે?

$1, 2, 3, 4$ અને $5$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતી ચાર અંકની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં ઓછામાં ઓછા બે અંકો સમાન હોય,તેની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $A = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_n\}$ એ $n$ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે. તેના બે ઉપગણો $P$ અને $Q$ સ્વતંત્ર રીતે બનાવવામાં આવે છે. આ ઉપગણો એવી રીતે બનાવવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી $(P - Q)$ માં બરાબર $2$ ઘટકો હોય:

રંગના તફાવત સિવાય દડાઓ સમાન છે તેમ માનીને,$10$ સફેદ,$9$ લીલા અને $7$ કાળા દડાઓમાંથી એક કે તેથી વધુ દડાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $(n+2)! = 2550(n!)$ હોય,તો $n$ શોધો.