यह सुनिश्चित करने के लिए कि फलन $f(x) = (x + 1)^{\cot x}$,$x = 0$ पर सतत है,$f(0)$ को किस प्रकार परिभाषित किया जाना चाहिए?

दिया गया है $f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+\text{sgn}[x]+{x}^2)}{1-\cos{x}} & \text{यदि } x \neq 0 \\ k & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ (जहाँ $[\cdot]$,${\cdot}$ और $\text{sgn } x$ क्रमशः महत्तम पूर्णांक फलन,भिन्नात्मक भाग फलन और सिग्नल फलन को दर्शाते हैं),तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $(0, \pi )$ पर सतत नहीं है?

यदि $f(x) = \frac{4^{x-\pi} + 4^{\pi-x} - 2}{(x-\pi)^2}$ जहाँ $x \neq \pi$,$x = \pi$ पर सतत है,तो $f(\pi) = k$ है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $[2, 4]$ में उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x) = [x^2 - x - 1/2]$ असंतत है, जहाँ $[·]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{a|x|+x^2-2(\sin |x|)(\cos |x|)}{x} & , x \neq 0 \\ b & , x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है, तो $a+b$ का मान ज्ञात कीजिए: