फलन का समाकलन कीजिए: $x \tan^{-1} x$

माना $I = \int x \tan^{-1} x \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $\tan^{-1} x$ पहला फलन है और $x$ दूसरा फलन है:
$I = \tan^{-1} x \int x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} \tan^{-1} x \int x \, dx \right) dx$
$I = \tan^{-1} x \left( \frac{x^2}{2} \right) - \int \left( \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2} \right) dx$
$I = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx$
$\frac{x^2}{1+x^2}$ का समाकलन करने के लिए,अंश को $(x^2+1-1)$ के रूप में लिखते हैं:
$I = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \left( \frac{x^2+1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} \right) dx$
$I = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} \right) dx$
$I = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C$
$I = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C$,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।