ધારો કે $X$ અને $Y$ બે ઘટનાઓ એવી છે કે $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
વિધાન $1$: $P(X \cap Y') = P(X' \cap Y) = 0$.
વિધાન $2$: $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$.

જો ત્રણ ખોખા અનુક્રમે $3$ સફેદ અને $1$ કાળો,$2$ સફેદ અને $2$ કાળા,અને $1$ સફેદ અને $3$ કાળા દડા ધરાવતા હોય,અને દરેક ખોખામાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો $2$ સફેદ અને $1$ કાળો દડો પસંદ થવાની સંભાવના કેટલી થાય?

ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ $S_1, S_2$ અને $S_3$ ને ઉકેલવા માટે એક સમસ્યા આપવામાં આવી છે. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:
$U:$ $S_1, S_2$ અને $S_3$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી સમસ્યા ઉકેલી શકે છે,
$V: S_1$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે,આપેલ છે કે $S_2$ કે $S_3$ માંથી કોઈ પણ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી,
$W: S_2$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે અને $S_3$ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી,
$T: S_3$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે.
કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$P(E)$ એ $E$ ની સંભાવના દર્શાવે છે.
જો $P(U)=\frac{1}{2}, P(V)=\frac{1}{10}$ અને $P(W)=\frac{1}{12}$ હોય,તો $P(T)$ ની કિંમત શોધો.

$A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે, જેથી $P(A \cup B) = 0.8$ અને $P(A) = 0.3$ છે. તો $P(B)$ ની કિંમત શોધો.

એક જહાજમાં ત્રણ એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ ફીટ કરેલા છે. એન્જિન એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે અનુક્રમે $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{4}$ સંભાવના સાથે કાર્ય કરે છે. જહાજ કાર્યરત રહે તે માટે તેના ઓછામાં ઓછા બે એન્જિન કાર્યરત હોવા જોઈએ. ધારો કે $X$ એ ઘટના દર્શાવે છે કે જહાજ કાર્યરત છે અને $X_1, X_2$ અને $X_3$ એ ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે અનુક્રમે એન્જિન $E_1, E_2$ અને $E_3$ કાર્યરત છે. નીચેનામાંથી કયું (કયા) સાચું છે?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{બરાબર બે એન્જિન કાર્યરત છે} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$

ધારો કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જેથી $P(A)=p$ અને $P(B)=2p$. $p$ ની મહત્તમ કિંમત, જેના માટે $P(\text{A, B માંથી બરાબર એક ઘટના બને}) = \frac{5}{9}$ છે, તે શોધો: