मान लीजिए $f(x) = x^2, x \in R$ है। किसी भी $A \subseteq R$ के लिए,$g(A) = \{x \in R : f(x) \in A\}$ को परिभाषित करें। यदि $S = [0, 4]$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य नहीं है?

मान लीजिए $S=(0,1) \cup(1,2) \cup(3,4)$ और $T=\{0,1,2,3\}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $S$ से $T$ तक अनंत फलन हैं।
$(B)$ $S$ से $T$ तक अनंत रूप से वर्धमान फलन हैं।
$(C)$ $S$ से $T$ तक सतत फलनों की संख्या अधिकतम $120$ है।
$(D)$ $S$ से $T$ तक प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

मान लीजिए $A=\{-1, 0, 1, 2\}$ और $B=\{-4, -2, 0, 2\}$ हैं। मान लीजिए $f, g: A \rightarrow B$ ऐसे फलन हैं जो $x \in A$ के लिए $f(x)=x^{2}-x$ और $x \in A$ के लिए $g(x)=2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1$ द्वारा परिभाषित हैं। क्या $f$ और $g$ समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

मान लीजिए कि $f:[-2, 2] \to R$ को $f(x) = \begin{cases} -1 & \text{for } -2 \le x \le 0 \\ x - 1 & \text{for } 0 < x \le 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो समुच्चय $\{ x \in (-2, 2) : x \le 0 \text{ और } f(|x|) = x \}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $f:[0,2) \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} 1+\frac{2x}{k} & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ kx & \text{for } 1 \leq x < 2 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $k>0$,और $f$ इस प्रकार है कि $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$,तो $k^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f: X \to Y$ जहाँ $X = \{0, 1, 2\}$ और $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है, के लिए ऐसे अचर न होने वाले फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $i < j$ होने पर $f(i) \leq f(j)$ हो।