मान लीजिए S_{k} = sum_{r=1}^{k} tan^{-1}left( | vedclass

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Question

(C) हमारे पास $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} 	an^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2 \cdot 2^{2r} + 3 \cdot 3^{2r}}ight)$ है।अंश और हर को $3^{2r}$ से विभाजित करने पर

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$\cot^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)$

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(C) हमारे पास $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} 	an^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2 \cdot 2^{2r} + 3 \cdot 3^{2r}}ight)$ है।अंश और हर को $3^{2r}$ से विभाजित करने पर:$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} 	an^{-1}\left(\frac{(2/3)^r}{2 \cdot (2/3)^{2r} + 3}ight)$.इस पद को $\frac{(2/3)^r - (2/3)^{r+1}}{1 + (2/3)^r \cdot (2/3)^{r+1}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \left( 	an^{-1}((2/3)^r) - 	an^{-1}((2/3)^{r+1}) ight)$.$S_{k} = 	an^{-1}(2/3) - 	an^{-1}((2/3)^{k+1})$.जब $k ightarrow \infty$,तब $(2/3)^{k+1} ightarrow 0$.इसलिए,$S_{\infty} = 	an^{-1}(2/3) = \cot^{-1}(3/2)$.

मान लीजिए $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2^{2r+1} + 3^{2r+1}}\right)$. तो $\lim_{k \rightarrow \infty} S_{k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\tan \left(\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\cos \left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\sin ^{-1} \frac{33}{65}\right) = . . . . .$

समीकरण $\sin^{-1} x = 2 \tan^{-1} x$ (मुख्य मानों में) के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$2{\tan ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}} \right] = $

यदि $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2}{9}\right)=\frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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