ધારો કે f(theta) = sin theta + int_{-pi / 2}^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે $f(	heta) = \sin 	heta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin 	heta + t \cos 	heta) f(t) dt$.આને $f(	heta) = \sin 	heta + \sin 	heta \in

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે $f(	heta) = \sin 	heta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin 	heta + t \cos 	heta) f(t) dt$.આને $f(	heta) = \sin 	heta + \sin 	heta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt + \cos 	heta \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$ તરીકે લખી શકાય.ધારો કે $A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} f(t) dt$ અને $B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t f(t) dt$.તેથી $f(	heta) = (A + 1) \sin 	heta + B \cos 	heta$.હવે,$A = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ ની ગણતરી કરીએ. $\sin t$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin t dt = 0$. તેથી,$A = B \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos t dt = B [\sin t]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = 2B$.આગળ,$B = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t ((A + 1) \sin t + B \cos t) dt$ ની ગણતરી કરીએ. $t \cos t$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \cos t dt = 0$. તેથી,$B = (A + 1) \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} t \sin t dt = (A + 1) \cdot 2 \int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int_{0}^{\pi / 2} t \sin t dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \cos t dt = 0 + [\sin t]_{0}^{\pi / 2} = 1$.તેથી,$B = 2(A + 1)$.$A = 2B$ ને $B = 2(2B + 1)$ માં મૂકતા,આપણને $B = 4B + 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3B = -2$,તેથી $B = -2/3$ અને $A = -4/3$.તેથી $f(	heta) = (-4/3 + 1) \sin 	heta - (2/3) \cos 	heta = -1/3 \sin 	heta - 2/3 \cos 	heta$.અંતે,$\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(	heta) d	heta ight| = \left| \int_{0}^{\pi / 2} (-1/3 \sin 	heta - 2/3 \cos 	heta) d	heta ight| = \left| [-1/3(-\cos 	heta) - 2/3 \sin 	heta]_{0}^{\pi / 2} ight| = \left| [1/3 \cos 	heta - 2/3 \sin 	heta]_{0}^{\pi / 2} ight| = \left| (0 - 2/3) - (1/3 - 0) ight| = \left| -2/3 - 1/3 ight| = |-1| = 1$.

ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. તો $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

Similar Questions

$\int_{0}^{1/3} (\sum_{r=0}^{101} \{x + \frac{r}{3}\}) dx$ ની કિંમત શોધો (જ્યાં $\{.\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે).

શરત $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 2 \int_0^1 f(x) dx$ નું પાલન કરતા સતત વિધેયો $f:[0,1] \rightarrow(-\infty, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module