मान लीजिए f : R rightarrow R और g : R rightar | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \log_{e}(x^{2}+1) - e^{-x} + 1$. अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+1} + e^{-x}$. सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है,अतः

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$(2,3)$

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(A) दिया गया है $f(x) = \log_{e}(x^{2}+1) - e^{-x} + 1$. अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+1} + e^{-x}$. सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) > 0$ है,अतः $f$ एक निरंतर वर्धमान फलन है। दिया गया है $g(x) = \frac{1-2e^{2x}}{e^{x}} = e^{-x} - 2e^{x}$. अवकलन करने पर,$g'(x) = -e^{-x} - 2e^{x} अतः,$g$ एक निरंतर ह्रासमान फलन है। असमिका $f(g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3})) > f(g(\alpha-\frac{5}{3}))$ दी गई है। चूंकि $f$ वर्धमान है,इसलिए $g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3}) > g(\alpha-\frac{5}{3})$ होगा। चूंकि $g$ ह्रासमान है,इसलिए $\frac{(\alpha-1)^{2}}{3} सरल करने पर,$(\alpha-1)^{2} $\alpha^{2} - 5\alpha + 6 $(\alpha-2)(\alpha-3) अतः,$\alpha \in (2, 3)$।

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