मान लीजिए कि ell एक रेखा है जो वक्र y=2x^2+x+ | vedclass

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Question

(A) वक्र $y=2x^2+x+2$ के किसी भी बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 4x+1$ द्वारा दी जाती है। बिंदु $P(h, k)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल

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(A) वक्र $y=2x^2+x+2$ के किसी भी बिंदु $(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 4x+1$ द्वारा दी जाती है। बिंदु $P(h, k)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 4h+1$ है। बिंदु $P$ पर अभिलंब रेखा $\ell$ की ढाल $m_n = -\frac{1}{4h+1}$ है। बिंदु $P(h, k)$ से गुजरने वाली अभिलंब रेखा $\ell$ का समीकरण $y-k = -\frac{1}{4h+1}(x-h)$ है। चूंकि $Q(6, 4)$ रेखा $\ell$ पर स्थित है,इसलिए $4-k = -\frac{1}{4h+1}(6-h)$ है। $k = 2h^2+h+2$ प्रतिस्थापित करने पर,$4-(2h^2+h+2) = -\frac{6-h}{4h+1}$ प्राप्त होता है। $(2-h-2h^2)(4h+1) = h-6$. $8h+2-4h^2-h-8h^3-2h^2 = h-6$. $-8h^3-6h^2+7h+2 = h-6$. $8h^3+6h^2-6h-8 = 0$. $2$ से विभाजित करने पर,$4h^3+3h^2-3h-4 = 0$. $(h-1)(4h^2+7h+4) = 0$. चूंकि $4h^2+7h+4$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है (विविक्तकर $D = 49-64 तब $k = 2(1)^2+1+2 = 5$ है। अतः $P$ बिंदु $(1, 5)$ है। शीर्षों $O(0, 0)$,$P(1, 5)$,और $Q(6, 4)$ वाले $	riangle OPQ$ का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$. क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(5-4) + 1(4-0) + 6(0-5)| = \frac{1}{2} |4 - 30| = \frac{1}{2} |-26| = 13$.

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