ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે જેથી $\vec{a} \times \vec{b} = 4\vec{c}$,$\vec{b} \times \vec{c} = 9\vec{a}$ અને $\vec{c} \times \vec{a} = \alpha\vec{b}$,જ્યાં $\alpha > 0$. જો $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 36$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેના વિકર્ણો સદિશો $2\vec{a} - \vec{b}$ અને $4\vec{a} - 5\vec{b}$ છે,જ્યાં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે જે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

સદિશ $3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ અને સદિશો $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય હોય તેવો એકમ સદિશ કયો છે?

જો $|a| = 4, |b| = 2$ અને $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi/6$ હોય,તો $|a \times b|^{2}$ શોધો.

પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં આવેલા સમઘનને ધ્યાનમાં લો જેની બાજુઓ $OP, OQ$ અને $OR$ ની લંબાઈ $1$ છે,જે અનુક્રમે $x$-અક્ષ,$y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ પર છે,જ્યાં $O(0,0,0)$ ઉગમબિંદુ છે. ધારો કે $S\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ એ સમઘનનું કેન્દ્ર છે અને $T$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સામેનું સમઘનનું શિરોબિંદુ છે જેથી $S$ એ વિકર્ણ $OT$ પર આવેલું હોય. જો $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{SP}, \overrightarrow{q} = \overrightarrow{SQ}, \overrightarrow{r} = \overrightarrow{SR}$ અને $\overrightarrow{t} = \overrightarrow{ST}$ હોય,તો $|(\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}) \times (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{t})|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}$ અને $\vec{c}$ એક એવો સદિશ છે કે જેથી $|\vec{c}-\vec{a}|=3$ થાય. જો $\vec{p}=\vec{a} \times \vec{b}$ હોય,તો $\vec{p}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે અને $|\vec{p} \times \vec{c}|=3$ છે. તો $\vec{a} \cdot \vec{c}$ ની કિંમત શોધો: