मान लीजिए p और p+2 अभाज्य संख्याएँ हैं और Del | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} p! & (p+1)! & (p+2)! \ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}ight|$.पंक

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} p! & (p+1)! & (p+2)! \ (p+1)! & (p+2)! & (p+3)! \ (p+2)! & (p+3)! & (p+4)!\end{array}ight|$.पंक्ति $1, 2, 3$ से क्रमशः $p!$,$(p+1)!$,और $(p+2)!$ कॉमन लेने पर:$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+2)(p+1) \ 1 & p+2 & (p+3)(p+2) \ 1 & p+3 & (p+4)(p+3)\end{array}ight|$.$R_2 	o R_2 - R_1$ और $R_3 	o R_3 - R_2$ लागू करने पर:$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! \left|\begin{array}{ccc} 1 & p+1 & (p+1)(p+2) \ 0 & 1 & 2(p+2) \ 0 & 1 & 2(p+3)\end{array}ight|$.प्रथम स्तंभ के सापेक्ष विस्तार करने पर:$\Delta = p!(p+1)!(p+2)! [1 \cdot (2(p+3) - 2(p+2))] = p!(p+1)!(p+2)! [2] = 2 \cdot p!(p+1)!(p+2)!$.चूंकि $p$ और $p+2$ अभाज्य हैं,$p!$ में $p$ एक बार आता है।$(p+1)! = (p+1)p!$ है,इसलिए $p$ का गुणनखंड $p!$ और $(p+1)!$ में आता है,अतः $p^2$,$p!(p+1)!$ को विभाजित करता है। साथ ही $(p+2)!$ में $p$ एक बार आता है। इसलिए $p^3$,$\Delta$ को विभाजित करता है,अतः $\alpha = 3$.$(p+2)!$ में $(p+2)$ एक बार आता है। इसलिए $(p+2)^1$,$\Delta$ को विभाजित करता है,अतः $\beta = 1$.योग $\alpha + \beta = 3 + 1 = 4$.

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ समुच्चय $\{\operatorname{Re}(\frac{2 i z}{1-z^2}): \|z\|=1, z \neq \pm 1\}$ है	$(p)$ $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$
$(B)$ $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}})$ का प्रांत है	$(q)$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$(C)$ यदि $f(\theta)=\left\|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right\|$,तो समुच्चय $\{f(\theta): 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}\}$ है	$(r)$ $[2, \infty)$
$(D)$ यदि $f(x)=x^{3 / 2}(3 x-10), x \geq 0$,तो $f(x)$ किस अंतराल में वर्धमान है	$(s)$ $(-\infty,-1] \cup[1, \infty)$
	$(t)$ $(-\infty, 0] \cup[2, \infty)$

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