ધારો કે x in (0, 1) માટે f(x) = sin x + (x^3 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$.નોંધો કે $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$.તેથી,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x-1)) \c

Vedclass · Accepted Answer

$I$ અને $II$ સાચા છે

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin x + (x^3 - 3x^2 + 4x - 2) \cos x$.નોંધો કે $x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x-1)^3 + (x-1)$.તેથી,$f(x) = \sin x + ((x-1)^3 + (x-1)) \cos x$.વિકલન કરતા:$f'(x) = \cos x + [3(x-1)^2 + 1] \cos x - [(x-1)^3 + (x-1)] \sin x$$f'(x) = \cos x [3(x-1)^2 + 2] + (1-x)((x-1)^2 + 1) \sin x$.$x \in (0, 1)$ માટે,$\cos x > 0$,$\sin x > 0$,$(1-x) > 0$,અને કૌંસમાં રહેલા પદો ધન છે.આમ,$f'(x) > 0$ દરેક $x \in (0, 1)$ માટે,જેનો અર્થ છે કે $f$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય (monotone) છે.વધુમાં,$f(0) = -2  0$.વિધેય $f$ સતત હોવાથી અને $(0, 1)$ માં ચિહ્ન બદલાતું હોવાથી,Intermediate Value Theorem મુજબ,$f$ ને $(0, 1)$ માં એક શૂન્ય છે.તેથી,વિધાન $I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = 2x + \tan^{-1} x$ અને $g(x) = \log_e(\sqrt{1+x^2} + x)$,$x \in [0, 3]$. તો:

જો $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ કોઈ $c > 0$ માટે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ એ $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module