मान लीजिए vec{a}=4 hat{i}+3 hat{j} और vec{b}= | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$।सबसे पहले,$\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} &

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$\frac{5}{\sqrt{2}}$

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(A) दिया गया है $\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$।सबसे पहले,$\vec{a} 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & 3 & 0 \ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-0) - \hat{j}(20-0) + \hat{k}(-16-9) = 15 \hat{i} - 20 \hat{j} - 25 \hat{k}$ की गणना करें।मान लीजिए $\vec{c} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$।$\vec{c} \cdot (\vec{a} 	imes \vec{b}) + 25 = 0$ से,हमें $15x - 20y - 25z = -25$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x - 4y - 5z = -5$ हो जाता है।$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 4$ से,हमें $x + y + z = 4$ प्राप्त होता है।$\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $1$ होने के कारण,$\frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 1 \Rightarrow \frac{4x + 3y}{5} = 1 \Rightarrow 4x + 3y = 5$।समीकरणों के निकाय को हल करने पर:$1) 3x - 4y - 5z = -5$$2) x + y + z = 4 \Rightarrow 5x + 5y + 5z = 20$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $8x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - 8x$।$4x + 3y = 5$ में मान रखने पर: $4x + 3(15 - 8x) = 5 \Rightarrow 4x + 45 - 24x = 5 \Rightarrow -20x = -40 \Rightarrow x = 2$।तब $y = 15 - 8(2) = -1$,और $z = 4 - 2 - (-1) = 3$।अतः,$\vec{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$।$\vec{c}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(2)(3) + (-1)(-4) + (3)(5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \frac{6 + 4 + 15}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{25}{\sqrt{50}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।

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सदिशों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$.

यदि $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है,तो $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \dots$

सभी वास्तविक $x$ के लिए,$c$ के किस मान के लिए सदिशों $cx\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$ और $x\hat{i} + 2\hat{j} + 2cx\hat{k}$ के बीच का कोण अधिक कोण (obtuse angle) होगा?

निम्नलिखित रेखाओं के युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
$\vec{r}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k})$ और
$\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-56 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})$

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