माना vec{v}=alpha hat{i}+2 hat{j}-3 hat{k},ve | vedclass

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Question

(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।अदिश त्रिक गुणनफल का न्यूनतम मान $-|\ve

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$3501$

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(C) अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} 	imes \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।अदिश त्रिक गुणनफल का न्यूनतम मान $-|\vec{u}| |\vec{v} 	imes \vec{w}| = -\alpha \sqrt{3401}$ है।दिया गया है $|\vec{u}| = \alpha$,इसलिए $|\vec{v} 	imes \vec{w}| = \sqrt{3401}$ है।सदिश गुणनफल $\vec{v} 	imes \vec{w}$ की गणना करने पर:$\vec{v} 	imes \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ \alpha & 2 & -3 \ 2\alpha & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 3) - \hat{j}(-\alpha + 6\alpha) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha) = \hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k}$.अब,$|\vec{v} 	imes \vec{w}|^2 = 1^2 + (-5\alpha)^2 + (-3\alpha)^2 = 1 + 25\alpha^2 + 9\alpha^2 = 1 + 34\alpha^2$.इसे $3401$ के बराबर रखने पर: $1 + 34\alpha^2 = 3401 \implies 34\alpha^2 = 3400 \implies \alpha^2 = 100 \implies \alpha = 10$.न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $\vec{u}$,$\vec{v} 	imes \vec{w}$ की विपरीत दिशा में हो,इसलिए $\vec{u} = -k(\hat{i} - 5\alpha \hat{j} - 3\alpha \hat{k})$ जहाँ $k > 0$.$|\vec{u}| = k \sqrt{1 + 34\alpha^2} = k \sqrt{3401} = \alpha = 10 \implies k = \frac{10}{\sqrt{3401}}$.अतः $\vec{u} = -\frac{10}{\sqrt{3401}}(\hat{i} - 50\hat{j} - 30\hat{k})$.$|\vec{u} \cdot \hat{i}|^2 = |-\frac{10}{\sqrt{3401}}|^2 = \frac{100}{3401}$.इस प्रकार $m = 100$ और $n = 3401$ है। चूँकि $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,$m + n = 100 + 3401 = 3501$.

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