मान लीजिए f :[2,4] rightarrow R एक अवकलनीय फल | vedclass

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Question

(C) दी गई असमिका: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$ है।इसे $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए $

Vedclass · Accepted Answer

कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(C) दी गई असमिका: $(x \ln x) f'(x) + (\ln x + 1) f(x) \geq 1$ है।इसे $\frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए $g(x) = x \ln x \cdot f(x) - x$ है। तब $g'(x) = \frac{d}{dx} (x \ln x \cdot f(x)) - 1 \geq 0$ है।अतः,$g(x)$ अंतराल $[2,4]$ पर एक वर्धमान फलन है।अंत बिंदुओं पर मान:$g(2) = 2 \ln 2 \cdot f(2) - 2 = 2 \ln 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \ln 2 - 2$ है।$g(4) = 4 \ln 4 \cdot f(4) - 4 = 4 \ln 4 \cdot \frac{1}{4} - 4 = \ln 4 - 4 = 2 \ln 2 - 4$ है।चूंकि $g(x)$ वर्धमान है,इसलिए $x \in [2,4]$ के लिए $g(2) \leq g(x) \leq g(4)$ होगा।$\ln 2 - 2 \leq x \ln x \cdot f(x) - x \leq 2 \ln 2 - 4$ है।$x$ जोड़ने और $x \ln x$ से भाग देने पर:$\frac{\ln 2 - 2}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x} \leq f(x) \leq \frac{2 \ln 2 - 4}{x \ln x} + \frac{1}{\ln x}$ प्राप्त होता है।$x \in [2,4]$ के लिए,ऊपरी सीमा $\leq \frac{2 \ln 2 - 4}{2 \ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{2}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2} = 1 - \frac{1}{\ln 2} $x \in [2,4]$ के लिए,निचली सीमा $\geq \frac{\ln 2 - 2}{4 \ln 4} + \frac{1}{\ln 4} = \frac{\ln 2 - 2}{8 \ln 2} + \frac{1}{2 \ln 2} = \frac{\ln 2 - 2 + 4}{8 \ln 2} = \frac{\ln 2 + 2}{8 \ln 2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{4 \ln 2} > \frac{1}{8}$ है। अतः,$(B)$ सत्य है।

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