मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}|=1$,$|\vec{b}|=4$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=2$ है। यदि $\vec{c}=(2 \vec{a} \times \vec{b})-3 \vec{b}$ है और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के बीच का कोण $\alpha$ है,तो $192 \sin^2 \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$P(1, 2, -3)$,$Q(-2, 1, -4)$ और $R(3, 4, -2)$ पर विचार करें। मान लीजिए $\vec{B} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$,जहाँ $A_x, A_y$ और $A_z$ क्रमशः $yz, zx$ और $xy$ समतलों पर त्रिभुज $PQR$ के क्षेत्रफल के प्रक्षेप (projections) हैं। तब $|\vec{B}|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\text{यदि } \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \text{ और } \vec{c} = \hat{i} - \hat{j} \text{ तथा यदि } 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(\vec{a} \times \vec{b}) + \lambda_2(\vec{b} \times \vec{c}) + \lambda_3(\vec{c} \times \vec{a}) \text{ हो, तो } (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = $

यदि $a \times b = b \times c \ne 0,$ जहाँ $a, b$ और $c$ समतलीय सदिश हैं,तो किसी अदिश $k$ के लिए

यदि $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{b}=\hat{j}-\hat{k}$ है,तो एक सदिश $\bar{c}$ ज्ञात कीजिए ताकि $\bar{a} \times \bar{c}=\bar{b}$ और $\bar{a} \cdot \bar{c}=3$ हो।

यदि $|\vec{a}|=10, |\vec{b}|=2$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$ है,तो $|\vec{a} \times \vec{b}|$ का मान ज्ञात कीजिए।