ધારો કે $\alpha \beta \gamma = 45$; $\alpha, \beta, \gamma \in R$. જો કોઈ $x, y, z \in R$ માટે $x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$ હોય અને $xyz \neq 0$ હોય,તો $6\alpha + 4\beta + \gamma$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે,જેથી $A^{T} = \alpha A + I$,જ્યાં $\alpha \in R - \{-1, 1\}$ છે. જો $\det(A^2 - A) = 4$ હોય,તો $\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $A$ એ $3$ ક્રમનો નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે. જો $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A))) = 3^{-13} \cdot 2^{-10}$ અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = 2^m \cdot 3^n$ હોય,તો $|3m + 2n|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$. તો $\det(A)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ a & 0\end{array}\right], a \in R$ ને $P+Q$ તરીકે લખવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ સંમિત શ્રેણિક છે અને $Q$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે. જો $\operatorname{det}(Q)=9$ હોય,તો $P$ ના નિશ્ચાયકના તમામ શક્ય મૂલ્યોના સરવાળાનું માન (modulus) કેટલું થાય?

દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે જ્યાં $-1 < x < 1$,ધારો કે $A(x)$ એ શ્રેણિક $\frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ -x & 1 \end{bmatrix}$ છે. જો $z = \frac{x+y}{1+xy}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?