माना y=y(x) अवकल समीकरण sec y frac{dy}{dx} + | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$. दोनों पक्षों को $\cos y$ से विभाजित करने पर (या $\sec y$ से गुणा करने पर):

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$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$. दोनों पक्षों को $\cos y$ से विभाजित करने पर (या $\sec y$ से गुणा करने पर): $\sec^2 y \frac{dy}{dx} + 2x 	an y = x^3$. माना $t = 	an y$,तब $\frac{dt}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$. समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है: $\frac{dt}{dx} + 2xt = x^3$. समाकलन गुणक $IF = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$. $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(t e^{x^2}) = x^3 e^{x^2}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $t e^{x^2} = \int x^3 e^{x^2} dx + C$. माना $u = x^2$,तब $du = 2x dx$,इसलिए $\int x^3 e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int u e^u du = \frac{1}{2} (u e^u - e^u) + C = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$. अतः,$	an y \cdot e^{x^2} = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 - 1) + C$. दिया गया है कि $y(1) = 0$,इसलिए $	an(0) \cdot e^1 = \frac{1}{2} e^1 (1 - 1) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$. अतः,$	an y = \frac{1}{2} (x^2 - 1)$. $x = \sqrt{3}$ के लिए,$	an y = \frac{1}{2} ((\sqrt{3})^2 - 1) = \frac{1}{2} (3 - 1) = 1$. चूँकि $	an y = 1$,इसलिए $y = \frac{\pi}{4}$.

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sec y \frac{dy}{dx} + 2x \sin y = x^3 \cos y$ का हल वक्र है,जहाँ $y(1) = 0$ है। तो $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात कीजिए:

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