ધારો કે $e_1$ અને $e_2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{25} = 1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $b < 5$ અને $e_1 e_2 = 1$ હોય,તો યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા અને ચારેય નાભિઓ (બે ઉપવલયની અને બે અતિવલયની) માંથી પસાર થતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો:

ધારો કે $e_1$ અને $e_2$ એ સમીકરણ $x^2 - ax + 2 = 0$ ના બે ભિન્ન મૂળ છે.  ધારો કે ગણ  $S_1 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ અને } e_2 \text{ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે} \} = (\alpha, \beta),$ અને  $S_2 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ અને } e_2 \text{ અનુક્રમે ઉપવલય અને અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા છે} \} = (\gamma, \infty).$  તો $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ છે. તો $b^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ ના નાભિઓ $(f_1, 0)$ અને $(f_2, 0)$ છે,જ્યાં $f_1 > 0$ અને $f_2 < 0$ છે. ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ બે પરવલયો છે જેનું શિરોબિંદુ $(0,0)$ છે અને નાભિઓ અનુક્રમે $(f_1, 0)$ અને $(2f_2, 0)$ છે. ધારો કે $T_1$ એ $P_1$ નો સ્પર્શક છે જે $(2f_2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $T_2$ એ $P_2$ નો સ્પર્શક છે જે $(f_1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. જો $m_1$ એ $T_1$ નો ઢાળ હોય અને $m_2$ એ $T_2$ નો ઢાળ હોય,તો $(\frac{1}{m_1^2} + m_2^2)$ ની કિંમત શું છે?

વક્રો $ax^2 + by^2 = 1$ અને $a'x^2 + b'y^2 = 1$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે તે માટેની શરત છે

જો નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આપેલા હોય,તો કેટલા પરવલયો દોરી શકાય?