मान लीजिए कि Q,[0,1] में सभी परिमेय संख्याओं | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x & 	ext{यदि } x \in Q \ 1-x & 	ext{यदि } x 
otin Q \end{cases}$ जहाँ $f:[0,1] ightarrow [0,1]$.स्थिति $1$

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$[0,1]$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x & 	ext{यदि } x \in Q \ 1-x & 	ext{यदि } x 
otin Q \end{cases}$ जहाँ $f:[0,1] ightarrow [0,1]$.स्थिति $1$: यदि $x \in Q$ है,तो $f(x) = x$। चूँकि $x \in [0,1]$ और $x$ परिमेय है,इसलिए $f(x) \in Q$। अतः,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$।स्थिति $2$: यदि $x 
otin Q$ है,तो $f(x) = 1-x$। चूँकि $x$ अपरिमेय है,इसलिए $1-x$ भी अपरिमेय है (यदि $1-x$ परिमेय होता,तो $x = 1 - (1-x)$ परिमेय होता,जो एक विरोधाभास है)। अतः,$f(x) 
otin Q$। इसलिए,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$।चूँकि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $(f \circ f)(x) = x$ है,इसलिए समुच्चय $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ पूरा प्रांत $[0,1]$ है।

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