ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે. જો $m$ અને $n$ એવા અદિશો હોય કે જેથી $\vec{a}+\vec{b}=m \vec{d}-\vec{c}$ અને $\vec{b}+\vec{c}=n \vec{a}-\vec{d}$ થાય,તો $3 \vec{a}+2 \vec{b}+2 \vec{c}+\vec{d}=$

જો $\hat{a}, \hat{b}$ અને $\hat{c}$ અસમતલીય સદિશો હોય અને જો $\hat{d}$ એવું હોય કે $\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c})$ અને $\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ જ્યાં $x$ અને $y$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d})$ ની કિંમત શોધો.

નીચેના બે વિધાનો વચ્ચે:
વિધાન $-I$ : ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$. તો સદિશ $\vec{r}$ જે $\vec{a} \times \vec{r}=\vec{a} \times \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{r}=0$ નું સમાધાન કરે છે તેનું માન $\sqrt{10}$ છે.
વિધાન $-II$ : ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C \geq -\frac{3}{2}$.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ ત્રણ શૂન્યતર સદિશો છે જેથી $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ છે. જો $\vec{a}+5\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ હોય,$\vec{b}+6\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ હોય,અને $\vec{a}+\alpha\vec{b}+\beta\vec{c}=\vec{0}$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ થાય. જો $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $2|\vec{c}|$ ની કિંમત શોધો.

જો $S$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર,$G$ મધ્યકેન્દ્ર અને $O$ લંબકેન્દ્ર હોય,તો $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = $