मान लीजिए alpha, beta, gamma (alpha

Question

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं और $\beta^2=\alpha \gamma$,जिसका अर्थ है कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक

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$v^2=uw$

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(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं और $\beta^2=\alpha \gamma$,जिसका अर्थ है कि $\alpha, \beta, \gamma$ एक गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं।अब,समीकरण $ak^3x^3+bk^2x^2+ckx+d=0$ पर विचार करें। इसे $a(kx)^3+b(kx)^2+c(kx)+d=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।मान लीजिए $y = kx$ है। तो समीकरण $ay^3+by^2+cy+d=0$ बन जाता है,जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।इसलिए,$kx = \alpha, kx = \beta, kx = \gamma$,जिससे $x = \frac{\alpha}{k}, x = \frac{\beta}{k}, x = \frac{\gamma}{k}$ प्राप्त होता है।अतः,मूल $u, v, w$ का मान $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ है।चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए उनके स्केल किए गए मान $\frac{\alpha}{k}, \frac{\beta}{k}, \frac{\gamma}{k}$ भी $G$.$P$. में हैं।इसलिए,$u, v, w$ $G$.$P$. में हैं,जिसका अर्थ है $v^2=uw$।

मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ $(\alpha < \beta < \gamma)$ समीकरण $ax^3+bx^2+cx+d=0$ के मूल हैं और $u, v, w$ $(u < v < w)$ समीकरण $ak^3x^3+bk^2x^2+ckx+d=0$ के मूल हैं। यदि $\beta^2=\alpha \gamma$ है,तो:

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