ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -4 & 7 \\ 0 & 3 & -5 \\ -2 & 5 & -9 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} a \\ -b \\ -c \end{bmatrix}$. જો $A$ અને $[A: B]$ નો શ્રેણીકનો ક્રમ (rank) સમાન હોય, તો:

નીચેની સમીકરણ પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લો: $x+2y-3z=a$,$2x+6y-11z=b$,અને $x-2y+7z=c$,જ્યાં $a, b$ અને $c$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. તો સમીકરણ પ્રણાલી:

ધારો કે $S$ એ સમીકરણોની સિસ્ટમ $(x, y, z)$ ના તમામ પૂર્ણાંક ઉકેલોનો ગણ છે:
$x-2y+5z=0$
$-2x+4y+z=0$
$-7x+14y+9z=0$
જેથી $15 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 150$. તો,ગણ $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

એક ટ્રસ્ટ ફંડ પાસે Rs. $30,000$ છે જે બે અલગ-અલગ પ્રકારના બોન્ડમાં રોકવાના છે. પ્રથમ બોન્ડ વાર્ષિક $5 \%$ વ્યાજ આપે છે અને બીજો બોન્ડ વાર્ષિક $7 \%$ વ્યાજ આપે છે. શ્રેણિક ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને,નક્કી કરો કે જો ટ્રસ્ટ ફંડને વાર્ષિક કુલ Rs. $2000$ વ્યાજ મેળવવું હોય,તો Rs. $30,000$ ને બે પ્રકારના બોન્ડ વચ્ચે કેવી રીતે વહેંચવા જોઈએ.

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x+y+z=5, x+2y+az=9, x+2y+z=b$ અસંગત છે જો

જો $x=\alpha, y=\beta, z=\gamma$ એ સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $2x-3y+5z=12$, $5x+2y+3z=11$ અને $x+2y-3z=-3$ નો અનન્ય ઉકેલ હોય, તો $2\alpha+5\beta+3\gamma=$