मान लीजिए a = i - j,b = j - k,c = k - i है। य | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $a = i - j$,$b = j - k$,और $c = k - i$ है।मान लीजिए $\hat{d} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$,जहाँ $|\hat{d}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = 1

Vedclass · Accepted Answer

$\pm \frac{i + j - 2k}{\sqrt{6}}$

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए $a = i - j$,$b = j - k$,और $c = k - i$ है।मान लीजिए $\hat{d} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$,जहाँ $|\hat{d}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = 1$ है।यह $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ $(i)$ को इंगित करता है।दिया गया है $a \cdot \hat{d} = 0$,तो $(i - j) \cdot (a_1 i + a_2 j + a_3 k) = 0$,जिससे $a_1 - a_2 = 0$ $(ii)$ प्राप्त होता है।दिया गया है $[b, c, \hat{d}] = 0$,तो अदिश त्रिक गुणन शून्य है,इसलिए $b \cdot (c 	imes \hat{d}) = 0$ है।यह सारणिक $\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \ -1 & 0 & 1 \ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0$ के बराबर है।सारणिक का विस्तार करने पर: $0(0 - a_2) - 1(-a_3 - a_1) - 1(-a_2 - 0) = 0$,जो $a_3 + a_1 + a_2 = 0$ $(iii)$ में सरल हो जाता है।$(ii)$ से,$a_1 = a_2$ है। इसे $(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_1 + a_1 + a_3 = 0$ मिलता है,इसलिए $a_3 = -2a_1$ है।$a_2 = a_1$ और $a_3 = -2a_1$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$a_1^2 + a_1^2 + (-2a_1)^2 = 1 \Rightarrow 6a_1^2 = 1 \Rightarrow a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।अतः,$a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,$a_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,और $a_3 = \mp \frac{2}{\sqrt{6}}$ है।इसलिए,$\hat{d} = \pm \frac{i + j - 2k}{\sqrt{6}}$ है।

मान लीजिए $a = i - j$,$b = j - k$,$c = k - i$ है। यदि $\hat{d}$ एक इकाई सदिश है जैसे कि $a \cdot \hat{d} = 0$ और $[b, c, \hat{d}] = 0$,तो $\hat{d}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$a$ का वह मान जिसके लिए $\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो,है

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