माना $A(2,5,7)$ एक समतल $\pi$ के सापेक्ष बिंदु $B(1,-2,3)$ का प्रतिबिंब है। माना $C$ वह बिंदु है जहाँ $AB$ समतल $\pi$ से मिलता है। माना $D=(2,1,6)$ है। तो $CD$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $L$ बिंदुओं $(1, 2, -3)$ और $(3, 3, -1)$ से होकर गुजरती है और एक समतल $\pi$ बिंदुओं $(2, 1, -2), (-2, -3, 6)$ और $(0, 2, -1)$ से होकर गुजरता है। यदि $\theta$ रेखा $L$ और समतल $\pi$ के बीच का कोण है,तो $27 \cos^2 \theta = $

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ निम्नलिखित सीधी रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{3}$ और $L_2: \frac{x-1}{-3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1}$.
मान लीजिए सीधी रेखा $L: \frac{x-\alpha}{l} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-\gamma}{-2}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $L_1$ और $L_2$ हैं,और यह $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यदि रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच के न्यून कोण को समद्विभाजित करती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $\alpha-\gamma=3$
$(B)$ $l+m=2$
$(C)$ $\alpha-\gamma=1$
$(D)$ $l+m=0$

समतलों $\overline{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\overline{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा निम्नलिखित में से किस सदिश के समांतर है?

रेखाओं $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ और $L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{3}$ पर विचार करें।
$1.$ $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश क्या है?
$(A) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+7 \hat{k}}{\sqrt{99}}$ $(B) \frac{-\hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(C) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{7 \hat{i}-7 \hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{99}}$
$2.$ $L_1$ और $L_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?
$(A) 0$ $(B) \frac{17}{\sqrt{3}}$ $(C) \frac{41}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{17}{5 \sqrt{3}}$
$3.$ बिंदु $(-1,-2,-1)$ से गुजरने वाले और जिसका अभिलंब $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है,उस समतल से बिंदु $(1,1,1)$ की दूरी क्या है?
$(A) \frac{2}{\sqrt{75}}$ $(B) \frac{7}{\sqrt{75}}$ $(C) \frac{13}{\sqrt{75}}$ $(D) \frac{23}{\sqrt{75}}$

रेखा $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z - 1}{3}$ को समाहित करने वाला और समतल $2x + 3y - z = 5$ पर इसके प्रक्षेप को भी समाहित करने वाला समतल निम्नलिखित में से किस बिंदु को समाहित करता है?