मान लीजिए A और B दो व्युत्क्रमणीय (non-singul | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ विषम-सममित आव्यूह हैं, इसलिए $A^{	op} = -A$ और $B^{	op} = -B$ है। दिया गया है कि $AB = BA$ है। हमें व्यंजक $E = A^{2}

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$-A^{2}$

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(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ विषम-सममित आव्यूह हैं, इसलिए $A^{	op} = -A$ और $B^{	op} = -B$ है। दिया गया है कि $AB = BA$ है। हमें व्यंजक $E = A^{2} B^{2} (A^{	op} B)^{-1} (A B^{-1})^{	op}$ का मान ज्ञात करना है। $A^{	op} = -A$ प्रतिस्थापित करने पर, $E = A^{2} B^{2} (-AB)^{-1} (A B^{-1})^{	op}$ प्राप्त होता है। गुणधर्म $(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}$ और $(XY)^{	op} = Y^{	op} X^{	op}$ का उपयोग करने पर: $E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) ((B^{-1})^{	op} A^{	op})$। चूंकि $(B^{-1})^{	op} = (B^{	op})^{-1} = (-B)^{-1} = -B^{-1}$, इसे प्रतिस्थापित करने पर: $E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (-B^{-1} (-A))$। $E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1}) (B^{-1} A)$। चूंकि $AB = BA$ है, इसलिए $A^{-1} B = B A^{-1}$ और $A B^{-1} = B^{-1} A$ होता है। $E = A^{2} B^{2} (-B^{-1} A^{-1} B^{-1} A)$। $E = -A^{2} B^{2} B^{-1} A^{-1} B^{-1} A$। $E = -A^{2} B (B B^{-1}) A^{-1} B^{-1} A$। $E = -A^{2} B (I) A^{-1} B^{-1} A$। $E = -A^{2} (B A^{-1}) B^{-1} A$। चूंकि $B A^{-1} = A^{-1} B$ है: $E = -A^{2} A^{-1} B B^{-1} A$। $E = -A (I) (I) A = -A^{2}$।

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