मान लीजिए f: X rightarrow X इस प्रकार है कि स | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि सभी $x \in X$ के लिए $f(f(x)) = x$ है। एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। दोनों पक्षों पर $f$ ल

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$f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है

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(D) दिया गया है कि सभी $x \in X$ के लिए $f(f(x)) = x$ है। एकैकी (injective) की जाँच करने के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। दोनों पक्षों पर $f$ लागू करने पर, हमें $f(f(x_1)) = f(f(x_2))$ प्राप्त होता है। चूँकि $f(f(x)) = x$ है, इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$ है। अतः, $f$ एकैकी है। आच्छादक (surjective) की जाँच करने के लिए: किसी भी $y \in X$ के लिए, मान लीजिए $x = f(y)$ है। तब $f(x) = f(f(y)) = y$ होगा। चूँकि प्रत्येक $y \in X$ के लिए, एक ऐसा $x \in X$ मौजूद है जिसके लिए $f(x) = y$ है, इसलिए $f$ आच्छादक है। अतः, $f$ एकैकी और आच्छादक (bijective) दोनों है।

मान लीजिए $f: X \rightarrow X$ इस प्रकार है कि सभी $x \in X$ और $X \subseteq \mathbb{R}$ के लिए $f(f(x)) = x$ है। तब:

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