मान लीजिए कि f(x),x = h पर अवकलनीय है। तो lim | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $L = \lim_{x 	o h} \frac{(x + h)f(x) - 2hf(h)}{x - h}$.चूंकि यह सीमा $x 	o h$ पर $\frac{0}{0}$ के अनिर्धारित रूप में है,इसलिए हम अंश औ

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$f(h) + 2hf'(h)$

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(A) मान लीजिए $L = \lim_{x 	o h} \frac{(x + h)f(x) - 2hf(h)}{x - h}$.चूंकि यह सीमा $x 	o h$ पर $\frac{0}{0}$ के अनिर्धारित रूप में है,इसलिए हम अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $L'	ext{Hospital}$ नियम का उपयोग करेंगे।अंश का अवकलन: $\frac{d}{dx} [(x + h)f(x) - 2hf(h)] = (x + h)f'(x) + f(x)(1) - 0 = (x + h)f'(x) + f(x)$.हर का अवकलन: $\frac{d}{dx} (x - h) = 1$.अब,$x 	o h$ पर सीमा का मान रखने पर:$L = \lim_{x 	o h} [(x + h)f'(x) + f(x)] = (h + h)f'(h) + f(h) = 2hf'(h) + f(h)$.अतः,सही विकल्प $A$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$,$x = h$ पर अवकलनीय है। तो $\lim_{x \to h} \frac{(x + h)f(x) - 2hf(h)}{x - h}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\int_{\frac{\pi }{2}}^x t \,dt}}{{\sin (2x - \pi )}}$ का मान है

मान लीजिए $f(x)$ एक अवकलनीय फलन है और $f^{\prime}(4)=5$ है। तब, $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(4) - f\left(x^{2}\right)}{x-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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