ધારો કે એક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ બાઈનરી નંબરોની સ્ટ્રિંગ બનાવવા માટે માત્ર $0$ અને $1$ અંકો જનરેટ કરે છે. બેકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ છે અને એકી સ્થાનો પર $0$ આવવાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે. તો $'10'$ પછી $'01'$ આવે તેની સંભાવના કેટલી થાય?

બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે બીજા સિક્કા પર કાંટો મળે છે. આ બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ કેવી છે?

$S$ એ નિદર્શાવકાશ છે અને $A, B$ એ યાદચ્છિક પ્રયોગની બે ઘટનાઓ છે. યાદી-$A$ ની વસ્તુઓને યાદી-$B$ ની વસ્તુઓ સાથે જોડો.

યાદી-$A$	યાદી-$B$
$(I)$ $A, B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે	$(i)$ $P(A \cap B) = P(B) - P(\bar{A})$
$(II)$ $A, B$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે	$(ii)$ $P(A) \leq P(B)$
$(III)$ $A \cap B = A$	$(iii)$ $P(\frac{\bar{A}}{B}) = 1 - P(A)$
$(IV)$ $A \cup B = S$	$(iv)$ $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
	$(v)$ $P(A) + P(B) = 2$

આકૃતિમાં $6 \times 6$ ચોરસ ગ્રીડને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ એ છેદબિંદુઓ (ચિત્રમાં ટપકાં) છે. આપણે કહીએ છીએ કે $A_i$ અને $A_j$ મિત્રો છે જો તેઓ હાર અથવા સ્તંભમાં એકબીજાની બાજુમાં હોય. ધારો કે દરેક બિંદુ $A_i$ પસંદ થવાની સમાન તક ધરાવે છે.
$(1)$ ધારો કે $p_i$ એ સંભાવના છે કે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ બિંદુને $i$ મિત્રો છે,$i=0, 1, 2, 3, 4$. ધારો કે $X$ એક યાદચ્છિક ચલ છે જેથી $i=0, 1, 2, 3, 4$ માટે,સંભાવના $P(X=i)=p_i$ થાય. તો $7 E(X)$ નું મૂલ્ય શું છે?
$(2)$ બિંદુઓ $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ માંથી બે અલગ-અલગ બિંદુઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે $p$ એ સંભાવના છે કે તેઓ મિત્રો છે. તો $7 p$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $A$ અને $B$ એક યાદચ્છિક પ્રયોગની નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય કે જેથી $P(A \cap B)=\frac{1}{6}$ અને $P(\bar{A} \cap \bar{B})=\frac{1}{3}$ થાય, તો $P(A)$ ની કિંમત શોધો. (અહીં, $\bar{E}$ એ ઘટના $E$ ની પૂરક ઘટના છે)

એક સિક્કાને $8$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. જો પ્રથમ છ ઉછાળમાં બરાબર $4$ છાપ અને છેલ્લા પાંચ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છાપ મળે તેની સંભાવના $p$ હોય, તો $96p$ ની કિંમત ———— થાય.