ધારો કે રેખા L_{1} એ અતિવલય frac{x^{2}}{16}-f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ના બિંદુ $(4 \sec 	heta, 2 	an 	heta)$ આગળ સ્પર્શક $L_{1}$ નું સમીકરણ $\frac{x \sec 	heta}{4}-\fra

Vedclass · Accepted Answer

$12$

Vedclass · Answer

(B) અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ના બિંદુ $(4 \sec 	heta, 2 	an 	heta)$ આગળ સ્પર્શક $L_{1}$ નું સમીકરણ $\frac{x \sec 	heta}{4}-\frac{y 	an 	heta}{2}=1$ છે.$L_{1}$ નો ઢાળ $m_{1} = \frac{\sec 	heta}{2 	an 	heta}$ છે.ધારો કે છેદબિંદુ $(h, k)$ છે. $L_{2}$ એ $(0, 0)$ અને $(h, k)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_{2} = \frac{k}{h}$ છે.$L_{1} \perp L_{2}$ હોવાથી,$m_{1} m_{2} = -1$,તેથી $\frac{k}{h} \cdot \frac{\sec 	heta}{2 	an 	heta} = -1$,જે $\sin 	heta = -\frac{k}{2h}$ આપે છે.તેથી $\cos^{2} 	heta = 1 - \frac{k^{2}}{4h^{2}} = \frac{4h^{2}-k^{2}}{4h^{2}}$,એટલે કે $\cos 	heta = \frac{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}}{2h}$.આ કિંમતોને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:$\frac{h}{4} \cdot \frac{2h}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} - \frac{k}{2} \cdot \left( \frac{-k}{\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} ight) = 1$$\frac{2h^{2}+k^{2}}{2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}} = 1 \implies 2h^{2}+k^{2} = 2\sqrt{4h^{2}-k^{2}}$બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2h^{2}+k^{2})^{2} = 4(4h^{2}-k^{2}) = 16h^{2}-4k^{2}$.$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $(x^{2}+y^{2})^{2} = 16x^{2}-4y^{2}$ મળે છે.આમ $\alpha=16$ અને $\beta=-4$.$\alpha+\beta = 16-4 = 12$.

Similar Questions

$m$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે,સીધી રેખા $y = mx + \sqrt{9m^2 - 4}$ એ કયા વક્રનો સ્પર્શક છે?

વક્ર $x=35 \sec \theta, y=35 \tan \theta$ પરના કોઈપણ બિંદુ $\theta$ આગળનો સ્પર્શક છે

જો $x = 9$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 9$ ની સ્પર્શકની જીવા (chord of contact) હોય,તો અનુરૂપ સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module