समीकरण sin^{65}x - cos^{65}x = -1 के लिए x in | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{65}x - \cos^{65}x = -1$.चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$ और $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $-1 \le \sin^{65}x \le 1$ और $-1 \le \c

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$2$

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(C) दिया गया समीकरण: $\sin^{65}x - \cos^{65}x = -1$.चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$ और $-1 \le \cos x \le 1$,इसलिए $-1 \le \sin^{65}x \le 1$ और $-1 \le \cos^{65}x \le 1$ है।माना $u = \sin^{65}x$ और $v = \cos^{65}x$ है। तब $u - v = -1$,जिसका अर्थ है $v = u + 1$ है।चूंकि $v \in [-1, 1]$,इसलिए $-1 \le u + 1 \le 1$,जिसका अर्थ है $-2 \le u \le 0$ है।साथ ही,$u = \sin^{65}x \in [-1, 1]$,इसलिए $u$ के संभावित मान $[-1, 0]$ में हैं।स्थिति $1$: यदि $u = -1$,तो $\sin^{65}x = -1 \implies \sin x = -1$ है। तब $v = -1 + 1 = 0$,इसलिए $\cos^{65}x = 0 \implies \cos x = 0$ है।$x \in (-\pi, \pi)$ के लिए,$\sin x = -1$ से $x = -\pi/2$ प्राप्त होता है। $x = -\pi/2$ पर $\cos x = 0$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है। अतः,$x = -\pi/2$ एक हल है।स्थिति $2$: यदि $u = 0$,तो $\sin^{65}x = 0 \implies \sin x = 0$ है। तब $v = 0 + 1 = 1$,इसलिए $\cos^{65}x = 1 \implies \cos x = 1$ है।$x \in (-\pi, \pi)$ के लिए,$\sin x = 0$ से $x = 0$ प्राप्त होता है। $x = 0$ पर $\cos x = 1$ होता है,जो शर्त को पूरा करता है। अतः,$x = 0$ दूसरा हल है।इसलिए,हलों की कुल संख्या $2$ है।

समीकरण $\sin^{65}x - \cos^{65}x = -1$ के लिए $x \in (-\pi, \pi)$ में हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

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