ખેંચાયેલી દોરી પર બે પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગોના પરિણામી સ્થાનાંતરનું સમીકરણ મેળવો.

(N/A) ધારો કે બે પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગો સમાન કોણીય આવૃત્તિ $(\omega)$,કોણીય તરંગ સંખ્યા $(k)$ અને કંપવિસ્તાર $(a)$ સાથે ખેંચાયેલી દોરી પર ગતિ કરે છે.
બે તરંગોને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$y_{1}(x, t) = a \sin(kx - \omega t)$
$y_{2}(x, t) = a \sin(kx - \omega t + \phi)$
જ્યાં $\phi$ એ બે તરંગો વચ્ચેનો અચળ કળા તફાવત છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,પરિણામી સ્થાનાંતર $y(x, t)$ એ વ્યક્તિગત સ્થાનાંતરોનો બૈજિક સરવાળો છે:
$y(x, t) = y_{1}(x, t) + y_{2}(x, t)$
$y(x, t) = a \sin(kx - \omega t) + a \sin(kx - \omega t + \phi)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $C = kx - \omega t$ અને $D = kx - \omega t + \phi$:
$y(x, t) = 2a \sin \left( \frac{kx - \omega t + kx - \omega t + \phi}{2} \right) \cos \left( \frac{kx - \omega t - (kx - \omega t + \phi)}{2} \right)$
$y(x, t) = 2a \sin \left( kx - \omega t + \frac{\phi}{2} \right) \cos \left( -\frac{\phi}{2} \right)$
કારણ કે $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$:
$y(x, t) = [2a \cos(\frac{\phi}{2})] \sin(kx - \omega t + \frac{\phi}{2})$
આ પરિણામી પ્રગામી તરંગનું સમીકરણ છે જેનો કંપવિસ્તાર $2a \cos(\frac{\phi}{2})$ અને પ્રારંભિક કળા $\frac{\phi}{2}$ છે.