$1\; m$ લાંબા સીધા સમાન સળિયાનો એક છેડો આડી ટેબલ પર ધરી (pivot) કરેલો છે. જ્યારે તે સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે ત્યારે તેને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે (આકૃતિ જુઓ). જ્યારે તે ટેબલને અથડાય છે ત્યારે તેની કોણીય ઝડપ $\sqrt{n}\; s^{-1}$ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$1 \ m$ લંબાઈ અને $4 \ kg$ દળનો એક સમાન સળિયો $AB$, બે પરસ્પર લંબ ઘર્ષણરહિત દીવાલો $OX$ અને $OY$ પર સરકે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સળિયાના બે છેડા $A$ અને $B$ ના વેગ અનુક્રમે $3 \ m/s$ અને $4 \ m/s$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?

વિધાન-$1$: એક પદાર્થ $\omega$ કોણીય વેગ અને $I$ જડત્વની ચાકમાત્રા સાથે અક્ષ પર ભ્રમણ કરે છે. જો કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોય,તો તેનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે,પરંતુ તેની ચાકગતિ ઊર્જા $K$ ઘટે છે.
વિધાન-$2$: $L = I\omega$ અને $K = \frac{L^2}{2I} = \frac{1}{2} I\omega^2$.

$M$ દળ અને $a$ લંબાઈનો એક પાતળો સળિયો બિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી સ્થિર શિરોલંબ ધરીની આસપાસ સમક્ષિતિજ સમતલમાં મુક્તપણે ફરી શકે છે. $M$ દળ અને $a/4$ ત્રિજ્યાની એક પાતળી વર્તુળાકાર તકતી આ સળિયા પર એવી રીતે જડેલી છે કે તેનું કેન્દ્ર મુક્ત છેડાથી $a/4$ અંતરે છે,જેથી તે તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ મુક્તપણે ફરી શકે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. ધારો કે સળિયો અને તકતી બંને સમાન ઘનતા ધરાવે છે અને ગતિ દરમિયાન તે સમક્ષિતિજ રહે છે. એક બહારનો સ્થિર અવલોકનકાર સળિયાને $\Omega$ કોણીય વેગ સાથે અને તકતીને તેની શિરોલંબ ધરીની આસપાસ $4\Omega$ કોણીય વેગ સાથે ફરતી જુએ છે. બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન $\left(\frac{Ma^2\Omega}{48}\right) n$ છે. $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

$R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતું એક પૈડું $R$ ઊંચાઈના એક નિશ્ચિત પગથિયાના તળિયે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યું છે. પૈડાની સપાટી પર સતત એક અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે જેથી તે લપસ્યા વિના પગથિયા પર ચઢી શકે. બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થતી અને કાગળના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ટોર્ક $\tau$ ધ્યાનમાં લો. નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?

$m$ દળનો એક પાતળો પોલો ગોળો $m$ દળના પ્રવાહીથી સંપૂર્ણ ભરેલો છે. જ્યારે ગોળો $v$ વેગ સાથે ગબડે છે, ત્યારે તંત્રની ગતિઊર્જા કેટલી હશે? (ઘર્ષણ અવગણો)