बिंदु $O$ दीर्घवृत्त का केंद्र है जिसका दीर्घ अक्ष $AB$ और लघु अक्ष $CD$ है। बिंदु $F$ दीर्घवृत्त की एक नाभि है। यदि $OF = 6$ और त्रिभुज $OCF$ के अंतःवृत्त का व्यास $2$ है,तो गुणनफल $(AB)(CD)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $S$ और $S^{\prime}$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1$ की नाभियाँ हैं और $P$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है,तो $\min \left(SP \cdot S^{\prime}P\right) + \max \left(SP \cdot S^{\prime}P\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि दीर्घवृत्त $x^{2}+4y^{2}=4$ की एक स्पर्श रेखा इसके मुख्य अक्ष के सिरों पर स्पर्श रेखाओं से $B$ और $C$ पर मिलती है,तो $BC$ को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त किस बिंदु से होकर गुजरता है?

कथन $(A)$: यदि दीर्घवृत्त $9x^2 + 16y^2 = 144$ के बिंदु $P(\frac{\pi}{3})$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \frac{57}{8}$ है।
कारण $(R)$: यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $P(\theta)$ पर स्पर्श रेखा और अभिलंब मुख्य अक्ष को क्रमशः $Q$ और $R$ पर मिलते हैं,तो $QR = \left| \frac{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}{a \cos \theta} \right|$ है।

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 1$ पर वे बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ स्पर्श रेखा $8x = 9y$ के समांतर है।

रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को कब स्पर्श करती है?