तीन पासों को एक बार फेंकने पर योग $16$ प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

समुच्चय $\{1, 2, 3, ..., 20\}$ से यादृच्छिक रूप से (बिना प्रतिस्थापन के) चार संख्याएँ चुनी जाती हैं।
कथन-$1$: प्रायिकता कि चुनी गई संख्याएँ किसी क्रम में व्यवस्थित करने पर एक $A.P.$ बनाती हैं,$\frac{1}{85}$ है।
कथन-$2$: यदि चार चुनी गई संख्याएँ एक $A.P.$ बनाती हैं,तो सार्व अंतर (common difference) के सभी संभावित मानों का समुच्चय $\{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6\}$ है।

समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से दो संख्याएँ $x$ और $y$ यादृच्छिक रूप से (बिना प्रतिस्थापन के) चुनी जाती हैं। तो $|x^4 - y^4|$ के $5$ से विभाज्य होने की प्रायिकता है -

एक कंपनी का प्रतिनिधि $12$ घरों में एक पंक्ति में $5$ समान नमूने वितरित कर रहा है,ताकि प्रत्येक घर को अधिकतम एक नमूना मिले। इस बात की प्रायिकता क्या है कि किन्हीं भी दो लगातार घरों को एक नमूना न मिले?

एक थैले में $3$ सफेद और $6$ लाल गेंदें हैं। एक साथ यादृच्छिक रूप से $4$ गेंदें निकाली जाती हैं। तो कम से कम $2$ लाल गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $X = \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} < 1 \text{ और } y^2 < 5x\}$ है। $X$ से तीन अलग-अलग बिंदु $P, Q$ और $R$ यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि $P, Q$ और $R$ एक ऐसा त्रिभुज बनाते हैं जिसका क्षेत्रफल एक धनात्मक पूर्णांक है?