સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 2a & 3a+2b & 4a+3b+2c \\ 3a & 6a+3b & 10a+6b+3c\end{array}\right|=a^{3}$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 2a & 3a+2b & 4a+3b+2c \\ 3a & 6a+3b & 10a+6b+3c\end{array}\right|$.
પ્રક્રિયાઓ $R_{2} \rightarrow R_{2}-2R_{1}$ અને $R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{1}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 3a & 7a+3b\end{array}\right|$.
હવે,$R_{3} \rightarrow R_{3}-3R_{2}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|$.
પ્રથમ સ્તંભ $C_{1}$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = a \left|\begin{array}{cc}a & 2a+b \\ 0 & a\end{array}\right| - 0 + 0 = a(a^{2} - 0) = a(a^{2}) = a^{3}$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $a^{3}$ છે.