सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 2b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$a$ भी $2$ से विभाज्य है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार)।
अतः,हम $a = 2k$ लिख सकते हैं,जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है।
इस मान को $a^2 = 2b^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2k)^2 = 2b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4k^2 = 2b^2$ या $b^2 = 2k^2$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $b^2$,$2$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $2$ से विभाज्य है।
इस प्रकार,$a$ और $b$ दोनों का कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।