સાબિત કરો કે જો $x$ અને $y$ બંને એકી ધન પૂર્ણાંકો હોય,તો $x^{2}+y^{2}$ એ બેકી સંખ્યા છે પરંતુ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.

(N/A) ધારો કે $x = 2m + 1$ અને $y = 2n + 1$ એ કોઈપણ બે એકી ધન પૂર્ણાંકો છે,જ્યાં $m$ અને $n$ એ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$x^{2} + y^{2} = (2m + 1)^{2} + (2n + 1)^{2}$.
નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x^{2} + y^{2} = (4m^{2} + 4m + 1) + (4n^{2} + 4n + 1)$.
$x^{2} + y^{2} = 4m^{2} + 4m + 4n^{2} + 4n + 2$.
$x^{2} + y^{2} = 4(m^{2} + m + n^{2} + n) + 2$.
કારણ કે $x^{2} + y^{2} = 2[2(m^{2} + m + n^{2} + n) + 1]$,તેથી તે સ્પષ્ટપણે એક બેકી સંખ્યા છે.
જોકે,જ્યારે તેને $4$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $2$ વધે છે. તેથી,$x^{2} + y^{2}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.