સાબિત કરો કે સમબાજુ ત્રિકોણ સિવાયના કોઈપણ ત્રિકોણમાં,સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો કાટખૂણાના $\frac{2}{3}$ ભાગ કરતાં મોટો હોય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ત્રિકોણ $ABC$,જે સમબાજુ ત્રિકોણ નથી. ધારો કે $BC$ સૌથી મોટી બાજુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle A > \frac{2}{3} \times 90^{\circ} = 60^{\circ}$.
સાબિતી: $\Delta ABC$ માં,$BC$ સૌથી મોટી બાજુ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$BC > AB \Rightarrow \angle A > \angle C$ ..... $(1)$ [કારણ કે ત્રિકોણમાં મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે]
$BC > AC \Rightarrow \angle A > \angle B$ ..... $(2)$ [કારણ કે ત્રિકોણમાં મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે]
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle A + \angle A > \angle B + \angle C$
$2\angle A > \angle B + \angle C$
બંને બાજુ $\angle A$ ઉમેરતા:
$2\angle A + \angle A > \angle A + \angle B + \angle C$
$3\angle A > 180^{\circ}$ [ત્રિકોણના ખૂણાઓના સરવાળાનો ગુણધર્મ]
$\angle A > \frac{180^{\circ}}{3}$
$\angle A > 60^{\circ}$
કારણ કે $60^{\circ} = \frac{2}{3} \times 90^{\circ}$,તેથી $\angle A > \frac{2}{3}$ કાટખૂણો.
આમ,સાબિત થાય છે.