સાબિત કરો કે ચોરસના વિકર્ણો સમાન હોય છે અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચોરસ છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $AC = BD$,$OA = OC$,$OB = OD$ અને $\angle AOB = 90^{\circ}$.
$1$. વિકર્ણો સમાન છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle ABC$ અને $\triangle BAD$ લો. આ ત્રિકોણોમાં,$AB = BA$ (સામાન્ય બાજુ),$BC = AD$ (ચોરસની બાજુઓ),અને $\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$. $SAS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle ABC \cong \triangle BAD$. તેથી,$AC = BD$ $(CPCT)$.
$2$. વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle OAB$ અને $\triangle OCD$ લો. અહીં,$\angle OAB = \angle OCD$ (યુગ્મકોણ),$\angle OBA = \angle ODC$ (યુગ્મકોણ),અને $AB = CD$ (ચોરસની બાજુઓ). $ASA$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle OAB \cong \triangle OCD$. તેથી,$OA = OC$ અને $OB = OD$ $(CPCT)$.
$3$. વિકર્ણો કાટખૂણે છેદે છે તે સાબિત કરવા માટે: $\triangle OAB$ અને $\triangle OCB$ લો. અહીં,$OA = OC$ (ઉપર સાબિત કર્યું),$AB = CB$ (ચોરસની બાજુઓ),અને $OB = OB$ (સામાન્ય બાજુ). $SSS$ એકરૂપતા દ્વારા,$\triangle OAB \cong \triangle OCB$. તેથી,$\angle AOB = \angle COB$ $(CPCT)$. કારણ કે $\angle AOB + \angle COB = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા),$2 \angle AOB = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\angle AOB = 90^{\circ}$.