સાબિત કરો કે કોઈપણ ચતુષ્કોણના આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ (જો શક્ય હોય તો) ચક્રીય હોય છે.
(N/A) આકૃતિમાં,$ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં આંતરિક ખૂણાઓ $A, B, C$ અને $D$ ના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદીને ચતુષ્કોણ $EFGH$ બનાવે છે.
હવે,$\triangle AEB$ માં,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
તે જ રીતે,$\triangle CGD$ માં,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તે એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\triangle AEB$ માં,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
તે જ રીતે,$\triangle CGD$ માં,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તે એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
Explore More
Similar Questions
જો વર્તુળની બે છેદતી જીવાઓ તેમના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વ્યાસ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે,તો સાબિત કરો કે તે જીવાઓ સમાન છે.
Medium
View Solutionજો વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ વર્તુળની અંદર એકબીજાને છેદે,તો સાબિત કરો કે એક જીવાના બે ભાગ બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન છે.
Difficult
View Solutionખાલી જગ્યા પૂરો:
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
Easy
View Solutionજો બે વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદતા હોય,તો સાબિત કરો કે તેમના કેન્દ્રો સામાન્ય જીવાના લંબદ્વિભાજક પર આવેલા છે.
Difficult
View Solutionએક વર્તુળની બે સમાંતર જીવાઓની લંબાઈ $6\, cm$ અને $8\, cm$ છે. જો નાની જીવા કેન્દ્રથી $4\, cm$ ના અંતરે હોય,તો બીજી જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર કેટલું હશે ($, cm$ માં)?
Difficult
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo