गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
$1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए।

(N/A) $P(n): 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1)$
$n=1$ के लिए,$\quad L.H.S.=1$
$R$.$H$.$S$. $=1(2(1)-1) = 1(1) = 1$
$\therefore L.H.S. = R.H.S.$
$\therefore P(1)$ सत्य है।
मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।
$P(k): 1+5+9+\ldots+(4 k-3)=k(2 k-1) \quad \ldots(i)$
$n=k+1$ के लिए,हमें यह दिखाना है कि $P(k+1)$ सत्य है:
$L.H.S. = [1+5+9+\ldots+(4 k-3)] + (4(k+1)-3)$
$= k(2 k-1) + (4 k+4-3) \quad (\text{समीकरण } (i) \text{ का उपयोग करते हुए})$
$= 2 k^{2}-k+4 k+1$
$= 2 k^{2}+3 k+1$
$= 2 k^{2}+2 k+k+1$
$= 2k(k+1) + 1(k+1)$
$= (k+1)(2 k+1)$
$= (k+1)[2(k+1)-1] = R.H.S.$
$\therefore$ जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए सत्य है।