दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1$,$6q+3$ या $6q+5$ के रूप का होता है,जहाँ $q$ कोई पूर्णांक है।

(N/A) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,अद्वितीय पूर्णांक $q$ और $r$ इस प्रकार विद्यमान होते हैं कि $a = bq + r$,जहाँ $0 \leq r < b$ है।
माना $a$ कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है और $b = 6$ है।
प्रमेयिका में $b = 6$ रखने पर,हमें $a = 6q + r$ प्राप्त होता है,जहाँ $0 \leq r < 6$ है।
इसका अर्थ है कि $r$ के संभावित मान $0, 1, 2, 3, 4, 5$ हैं।
यदि $r = 0$ है,तो $a = 6q = 2(3q)$,जो कि सम है।
यदि $r = 1$ है,तो $a = 6q + 1 = 2(3q) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 2$ है,तो $a = 6q + 2 = 2(3q + 1)$,जो कि सम है।
यदि $r = 3$ है,तो $a = 6q + 3 = 2(3q + 1) + 1$,जो कि विषम है।
यदि $r = 4$ है,तो $a = 6q + 4 = 2(3q + 2)$,जो कि सम है।
यदि $r = 5$ है,तो $a = 6q + 5 = 2(3q + 2) + 1$,जो कि विषम है।
चूँकि $a$ एक धनात्मक विषम पूर्णांक है,इसलिए यह $6q, 6q+2$ या $6q+4$ के रूप का नहीं हो सकता। अतः,कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक $6q+1, 6q+3$ या $6q+5$ के रूप का ही होता है।