સાબિત કરો કે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે $4m, 4m+1$ અથવા $4m+3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

(N/A) ધારો કે $a$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,$a$ અને $b=4$ માટે,અનન્ય પૂર્ણાંકો $q$ અને $r$ એવા મળે કે જેથી $a = 4q + r$,જ્યાં $0 \leq r < 4$.
બંને બાજુ ઘન લેતા:
$a^3 = (4q + r)^3 = 64q^3 + 3(4q)^2r + 3(4q)r^2 + r^3$
$a^3 = 64q^3 + 48q^2r + 12qr^2 + r^3$
$a^3 = 4(16q^3 + 12q^2r + 3qr^2) + r^3$ ... $(i)$
કિસ્સો $I$: જો $r = 0$,તો $a^3 = 4(16q^3) = 4m$,જ્યાં $m = 16q^3$.
કિસ્સો $II$: જો $r = 1$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2 + 3q) + 1^3 = 4m + 1$,જ્યાં $m = 16q^3 + 12q^2 + 3q$.
કિસ્સો $III$: જો $r = 2$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(2) + 3q(2^2)) + 2^3 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q) + 8 = 4(16q^3 + 24q^2 + 12q + 2) = 4m$,જ્યાં $m = 16q^3 + 24q^2 + 12q + 2$.
કિસ્સો $IV$: જો $r = 3$,તો $a^3 = 4(16q^3 + 12q^2(3) + 3q(3^2)) + 3^3 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q) + 27 = 4(16q^3 + 36q^2 + 27q + 6) + 3 = 4m + 3$,જ્યાં $m = 16q^3 + 36q^2 + 27q + 6$.
આમ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન $4m, 4m+1$ અથવા $4m+3$ સ્વરૂપમાં હોય છે.