સાબિત કરો કે વિધાન $p:$ 'જો $x$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$,તો $x$ એ $0$ છે' એ પ્રતિધનાત્મક (contrapositive) ની રીત દ્વારા સત્ય છે.

(A) વિધાન $p$ એ 'જો $q$,તો $r$' સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં:
$q: x$ એ એવી વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $x^{3}+4x=0$
$r: x=0$
પ્રતિધનાત્મક રીત દ્વારા $p$ સત્ય છે તેમ સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે $\sim r \Rightarrow \sim q$.
ધારો કે $\sim r$ સત્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $x \neq 0$.
આપણે દર્શાવવાની જરૂર છે કે $\sim q$ સત્ય છે,એટલે કે $x^{3}+4x \neq 0$.
કારણ કે $x \neq 0$,તેથી $x^{2} > 0$.
તેથી,$x^{2}+4 > 4$,જે સૂચવે છે કે $x^{2}+4 > 0$.
કારણ કે $x \neq 0$ અને $(x^{2}+4) > 0$,તેમનો ગુણાકાર $x(x^{2}+4)$ શૂન્ય ન હોઈ શકે.
આમ,$x^{3}+4x \neq 0$,જે $\sim q$ છે.
કારણ કે $\sim r \Rightarrow \sim q$ સત્ય છે,તેથી આપેલ વિધાન $p$ સત્ય છે.